Der Auftriebsbeiwert

Nach vielen Nachfragen hier eine kurze Zusammenfassung der häufigsten Begriffe und Abkürzungen auf meiner Website. Wer nur an einer kleinen Formelsammlung interessiert ist, besucht bitte Hannes Delago. Ich gehe hier nur auf die praktisch relevanten Dinge bei der Anwendung der Formeln ein, die Tricks und Tücken. Mehr nicht! Dieses hier ist keine wissenschaftliche Zusammenfassung oder sonstwas. Wer es wirklich genau wissen will, ist hier vollkommen falsch. Wer mehr wissen will, kauft sich bitte ein Buch!

Auftriebsgleichung

A - Auftrieb [N]
r - Dichte [kg/m³]
v - Geschwindigkeit [m/s]
ca - Auftriebsbeiwert [-]
F - Bezugsfläche [m²]

Diese Formel kann man in alle möglichen und unmöglichen Richtungen auflösen. Es handelt sich bei dieser Formel um eine mathematische Definitionsgleichung, weswegen sie wohl vielen Leuten Probleme bereitet. Mit einem Zahlenbeispiel verstehen wir Sie aber vielleicht.

Sehr wichtig: Auftriebsbeiwert ca und Bezugsfläche F gehören untrennbar zusammen! Wenn man den ca auf eine andere Bezugsfläche bezieht, als dieser zum Beispiel mit Hilfe einer Auftriebsverteilungsrechnung berechnet wurde, rechnet man Mist. Beispiel gefällig? Rechnet man das Höhenleitwerk bei der Fläche nun mit oder nicht? Dazu kommen wir weiter unten, also bitte nicht nervös werden und wilde Emails schreiben.

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Im Normalfall kennen wir unser Fluggewicht G sehr genau, dank einer Digitalwaage. Im Geradeausflug ist A=G. Also sollten wir unsere Gleichung umbauen, weil A damit bekannt ist. Was wir aber oft nicht wissen, ist die Fluggeschwindigkeit v. Also lösen wir dahin auf:

v = Quadratwurzel (2*m*g/(F*r*ca))

Schlaumeier erkennen an dieser Stelle zwei Dinge:

Wir haben uns die Freiheit genommen, A durch m*g zu ersetzen, die Masse m multipliziert mit der Erdbeschleunigung g.
G/F ist unsere wohlbekannte Flächenbelastung

G/F = 1 N/m² = 0,102 kg/m² = 100 g/100 dm² ≅ 1 g/dm²

1N/m² entspricht also in etwa 1g/dm², unserer gewohnten Flächenbelastung. Das ist eine kleine physikalische Schweinerei , stimmt aber, wenn man die Erdbeschleunigung 10m/s² sein läßt. Fortan setzen wir für G/F immer unsere bekannte Flächenbelastung in g/dm² ein, wohlwissend, daß es eigentlich N/m² sein müßten. Die Luftdichte setzen wir meist mit 1,225kg/m³ an. Im Vergleich zum Fehler bei der Annahme dieser Luftdichte (Standardatmosphäre) nimmt sich die Rundung bei der Erdbeschleunigung geradezu winzig aus.

Rechenbeispiel 1:
Flächenbelastung 45g/dm²
Auftriebsbeiwert ca=0,9

v=(2*45/(1,225*0,9))^0,5
v=9,0m/s = 32,5km/h

Rechenbeispiel 2:
Flächenbelastung 45g/dm²
Auftriebsbeiwert ca=0,1

v=(2*45/(1,225*0,1))^0,5
v=27,1m/s = 97,6km/h

Das Kleingedruckte:
Dieses Rechenbeispiel geht davon aus, daß der Auftrieb des Höhenleitwerk (HLW) gleich null ist. Bezugsfläche für die Flächenbelastung ist die Flügelfläche ohne Höhenleitwerk, da sie in unserem Fall keinen Auftrieb liefert. Das ca bezieht sich nur auf den Flügel, man könnte es daher auch mit caF indizieren. Für die beiden Trimmzustände ca=0,9 und ca=0,1 braucht man allerdings eine andere SWP-lage und Höhenruderstellung, um caH=0 zu gewährleisten.

Dieses Rechenbeispiel ist genauso richtig, wenn die Gesamtflächenbelastung (Flügel+HLW, auch als FAI-Flächenbelastung bekannt) zugrundegelegt wird, aber ein "verschmierter" Auftriebsbeiwert von Höhenleitwerk und Flügel vorliegt. Man spricht dann auch vom Gesamt-ca oder Flugzeug-ca. Bei Flugmessungen kennt man die einzelnen Anteile nicht und verwendet daher zwangsläufig diesen Ansatz. Im Gesamt-ca sind auch Rumpfauftriebsanteile usw. enthalten. Bezugsfläche für den Gesamt-ca (cA) ist F_cA = F_Flügel + F_Hlw.

Beide Fälle mischen heißt Mist rechnen! Bei Nurflügeln ist Flügel=Flugzeug und dieser Fall muß daher nicht unterschieden werden!

Wir erkennen hier: Das ca beschreibt bei einer gegebenen Flächenbelastung und Luftdichte nichts anderes als die Fluggeschwindigkeit. Wenn man in eine Profilpolare geht, findet man nur den Auftriebsbeiwert, weil der unabhängig von allen physikalischen Größen ist. Das bietet nebenbei noch ein paar mehr Vorteile, aber das führt hier zu weit. Nochwas: CA<0 ist Rückenflug, sonst fragt wieder jemand.

Abkürzungen

Auftriebsbeiwert
ca	Formelzeichen Auftriebsbeiwert
cA	Formelzeichen gesamter Auftriebsbeiwert (Flugzeug)
camax	maximaler lokaler Auftriebsbeiwert (Profil), Strömungsabriß.
cAmax	maximaler Auftriebsbeiwert (Flugzeug)
camin	minimaler lokaler Auftriebsbeiwert (Profil), Strömungsabriß. Nurflügelspezifischer Problemfall.
cAmin	minimaler gesamter Auftriebsbeiwert (Flugzeug). Nurflügelspezifischer Problemfall.

Leider habe ich auf meiner Website ca und cA selber nicht immer sauber getrennt. Beiwerte (ceofficients "c") werden grundsätzlich klein geschrieben, aber man kann im Index deutlich machen, daß es unterschiedliche Bezüge sind. Wenn man dieser "engen" Indizierung folgt, müßte die Auftriebsgleichung cA als Formelzeichen enthalten. Es ist allerdings nur bedingt üblich, diese Unterscheidung zu machen. Ich verwende sie hier, um den Unterschied zwischen Funktion ca(y) und Effektivwert cA deutlich zu machen.

Zwischen ca und cA besteht ein Unterschied, weil der ca über die Spannweite wegen der Auftriebsverteilung variiert und cA der Mittelwert (integriert) einer solchen Verteilung ist. Wir können das am Beispiel dieser Horten II Auftriebbeiwertsverteilung schön erkennen.
y=0 ist die Flügelmitte, y=1,0 die Flügelspitze.

Bild 1: Horten HII Auftriebsbeiwertsverteilung

cA=1,0
ca(y) variiert über die Halbspannweite (y)

ca(0,5)=1,1
ca(0,8)=0,7 usw...

Wir sehen hier, daß es wichtig ist, zwischen lokalen Auftriebsbeiwerten und Gesamt-Auftriebsbeiwert zu unterscheiden. Für die Widerstandsbetrachtung in der Profilpolare muß genaugenommen der lokale Auftriebsbeiwert ca(y) zugrundegelegt werden. Oft nimmt man aber den Flügel-cA, weil man ohnehin mangels Daten in vielen Fällen nicht einmal den Rezahlverlauf über die Spannweite berücksichtigen kann. Dieser Rezahl bedingte Fehler ist viel größer als der Fehler durch den cA (anstatt ca-Verlauf), sofern man einen gering geschränkten Flügel hat.

Der Abwindfaktor

Wer das Thema "Auftrieb" wirklich verstanden hat, weiß, dass es sich um nichts anderes, als um "Abwinderzeugung" handelt. Der Auftriebsbeiwert "ca" ist im Endeffekt nichts anderes, als ein dimensionsloser "Abwindfeldquotient" und beschreibt, wie steil Luft durch den Tragflügel beim Fliegen nach unten umgelenkt wird. Ist der cA klein, muss man schnell fliegen, um das Fluggewicht in der Luft halten zu könnnen. Ist der cA dagegen groß, kann man langsam fliegen und bleibt trotzdem in der Luft.

Diese Erkenntnis ist nicht neu, sondern ganz alt und beruht auf dem Impulssatz von Newton. Und nur weil Newton mal am Nachmittag bei der Auftriebsberechnung zu seinen Lebzeiten noch unbekannte Axiome (u.a. Kutta) nicht einbeziehen konnte, heißt das noch lange nicht, dass sein Impulssatz keine Gültigkeit hat. Die Aerodynamiker haben ihm nur nie verzeihen, dass er sich am mathematischen Beweis versucht hat, warum der Mensch nicht fliegen kann und dabei hätte der Blick aus dem Fenster genügen müssen, dass Vögel das ebenso wie Hummeln anders sehen. Letzteres war wiederum Generationen später ein Verbrechen der Aerodynamiker, die nicht wahr haben wollten, dass der stationäre Auftriebsbeiwert und der instationäre in einer anderen Liga spielen. Dabei hat das schon Otto Lilienthal als Arbeitshypothese formuliert und experimentell erste Anhaltspunkte geliefert, wobei der wissenschaftlich gesehen strenge Nachweis erst ein paar Jahrzehnte später geführt wurde.

Bibel, Johannes 8: Wer unter euch ohne Sünde ist, der werfe den ersten Stein...

Wir versuchen nur, mit mathematischen Gleichungen die Naturgesetze in der Welt da draußen zu beschreiben und der ungelenke "Auftriebsbeiwert" ist ein Vehikel davon. Daher dürft ihr ihn auch gerne "Abwindfaktor" nennen und möglicherweise ist das sogar der ehrlichere Begriff.

Letzte Änderung: 18.10.2001